mysql_fetch_array() oczekuje, że parametr 1 będzie zasobem, podany ciąg

Przekazujesz w $query który jest twoim ciągiem sql , kiedy musisz przekazać $result który jest twoim obiektem wynikowym bazy danych.

class DBQueries extends DBConn {
    function displayUsers(){
        $this->dbConnection();
        $query = "SELECT * FROM users";
        $result = mysql_query($query);
        while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
            echo $row['password'];
        }
    }
}