Wygląda na to, że jesteś bardzo blisko, ale masz register przy złym wcięciu. Jest to parametr samego zadania, a nie modułu postgresql.
Wypróbuj:
- name: Get specific tables
postgresql_query:
db: "{{ database_name }}"
login_host: "{{ my_host }}"
login_user: "{{ my_user }}"
login_password: "{{ my_password }}"
query: SELECT * FROM pg_tables t WHERE t.tableowner = current_user
register: result
- debug:
var: result
