$project:Czy można uzyskać dostęp do właściwości wyniku wyrażenia tylko w jednym etapie?

Potrzebujesz operatora $let:

db.getCollection('users').aggregate([
    {
        $project : {
            domain : {
                $let: {
                    vars: { firstEmail: { $arrayElemAt : ["$emails", 0] } },
                    in: "$$firstEmail.domain"
                }
            }
        }
    }
])

Plac zabaw w Mongo