Jak przekazać wynik mysql jako jSON przez ajax?

Twoje kodowanie json powinno wyglądać tak:

 $json = array();
 while( $row = $statement->fetch()) {
     array_push($json, array($row['Name'], $row['PostUUID']));
 }

    header('Content-Type: application/json');
    echo json_encode($json);

A w części JavaScript nie musisz nic robić, aby odzyskać swoje dane, są one przechowywane w zmiennej danych z funkcji sukcesu. Możesz je po prostu wyświetlić i robić z nimi, co chcesz na swojej stronie