Jeśli dobrze rozumiem, wybrane wartości są przechowywane w ciągu oddzielonym przecinkami, a liczby są wartościami poprzednio wybranymi.
W takim przypadku odpowiedź jest prosta:
<select name="w_owning_branches[]" size="10" id="w_owning_branches" multiple="multiple" required>
<option value="" class="dropdown-option"> Select Owning Branch </option>
<?php do {
$value = $row_branches['branch_id'];
$name = $row_branches['name'];
$selected = '1,2,3,4,5,6';
echo "<option value='$value'".(in_array($value, explode(",",$selected)) ? " selected='selected'":"").">$name</option>";
} while ($row_branches = mysql_fetch_assoc($branches)); ?>
</select>
