Sam otrzymałem odpowiedź po tym, jak ręcznie próbowałem połączyć się z SQL Server Management Studio.
Tam bierze nazwę serwera jako localhost. Nie trzeba podawać nazwy instancji, łączy się z instancją domyślną.
To zadziałało:
Invoke-Sqlcmd -InputFile 'D:\SQL Scripts\test.sql' -ServerInstance 'localhost' -Database 'Test'
