Jak znaleźć wszystkie dzieci kolumny tabeli w tabeli serwera sql?

To powinno wystarczyć:

DECLARE @Group VARCHAR(50)
SET @Group = 'Karnataka Customers'

;WITH CTE AS
(
  SELECT *
  FROM [dbo].[LedgerGroups]
  WHERE GroupParent = @Group
  UNION ALL
  SELECT B.*
  FROM CTE A
  INNER JOIN [dbo].[LedgerGroups] B
  ON A.GroupName = B.GroupPArent
)
SELECT *
FROM CTE
OPTION(MAXRECURSION 0);

I oto działający sqlfiddle abyś spróbował.