Jak mogę sprawdzić, czy MySQL i Tomcat są uruchomione?

Najprostszym sposobem byłoby po prostu podłączenie serwera i sprawdzenie, czy się powiedzie.

MySQL:

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Kocur:

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Jeśli chcesz nieco bardziej szczegółowego statusu, np. sprawdzenie, czy dostępna jest określona tabela DB lub konkretny zasób aplikacji internetowej, należy uruchomić bardziej szczegółowy SELECT odpowiednio oświadczenie lub żądanie HTTP.